quinta-feira, 14 de maio de 2009

Indução Matemática

A indução matemática a primeira olhada parece ser coisa de outro mundo, mas não bem assim ela e "bem interessante" mas não e nada impossivel de ser resolvida.
Vejamos um exemplo;

Suponha que desejemos provar o seguinte enunciado:

1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}

para todos os números naturais n. Esta é uma fórmula simples para a soma dos números naturais de 1 a n. A prova de que o enunciado é verdadeiro para todos os números naturais n é dada a seguir.

Demonstração

Verificar se o enunciado é verdadeiro para n = 1. Claramente, do lado esquerdo da equação fica 1 e do lado direito 1(1 + 1) / 2, resolvendo dá 1=1. Então o enunciado é verdadeiro para n = 1. Podemos definir este enunciado como P(n) e portanto temos que P(1) é verdadeiro.

Agora precisamos mostrar que se o enunciado vale quando n = k, então ele também vale quando n = k + 1. Isto pode ser feito da seguinte maneira:

Assuma que a seguinte igualdade é válida para para n = k, ou seja:

1 + 2 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2}

Adicionando k + 1 a ambos os lados, a igualdade se mantém, então:

1 + 2 + ... + k + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k+ 1)

Por manipulação algébrica, temos:

= \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{2(k + 1)}{2} = \frac{(k + 2)(k + 1)}{2}

Logo:

1 + 2 + ... + k +(k + 1) = \frac{(k + 1)[(k + 1) + 1]}{2}

Este último é o enunciado para n = k + 1. Note que, assumindo que P(K) é verdadeiro, podemos concluir que P(K + 1) é verdadeiro. Simbolicamente, mostramos que:

P(k) \Rightarrow P(k + 1)

Por indução, no entanto, podemos concluir que o enunciado P(n) vale para todos os números naturais n:

  1. Primeiro provamos que P(1) é verdadeiro;
  2. Depois provamos que se P(k) é verdadeiro, então P(k+1) também é verdadeiro.
  3. Sabendo que P(1) é verdadeiro, concluimos que P(2) é verdadeiro e pelo passo de indução sabemos que P(n) é verdadeiro para qualquer número n natural.
no entanto apos essa pequena demonstração da para ter uma noção de que não e tão complicado a "dita" Indução Matemática.
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Como melhorar o ensino da matemática

Qual a principal medida a ser tomada para melhorar o ensino e a aprendizagem da matemática tanto nas escolas publicas e tambem nas escolas particulares pois mesmo nas escolas particulares onde a condição de trabalho e melhor os alunos também tem muita dificuldade na aprendizagem da matematica.
Mas no entanto se cada um fazer um pouco para melhorar essa realidade certamente os alunos que hoje tem receio da matemática irão começar a ver ela de um novo ponto de vista.

"mas afinal de quem e a responsabilidade para essa melhora"
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Por que ninguem gosta da MATEMATICA

Porque a maioria das pessoas não gostam da matemática?
Na maioria das vezes as pessoas não gostam de matemática pelo simples fato de terem tidos professores com uma formação inadequada ou fraca que ao invés de inspirarem nos seus alunos uma motivação em estudar matemática, acabaram traumatizando os mesmos.
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